 |
 |
S tou naší matematikou se zdá být něco v nepořádku. Je to o tom, že když člověk vyjde z nesprávných předpokladů, dostane se posléze do neřešitelných paradoxů. Zkusme to ilustrovat třeba na příkladu bidla a bydla. Určitě jste o nich už slyšeli.
Na louce stálo bidlo. Přiletěl pták a postavil si na něm své bydlo. Pak přišel vítr a obě b(iy?)dla spadla. Jaké iy se napíše ve slově bidla (bydla)?
V tomto případě je vše zcela jasné. Bidlo i bydlo jsou zcela rozdílná slova, i když znějí stejně. Protože jsou to různá slova, nelze je slučovat do jednoho. Pokud místo slova „bydlo“ použijeme docela obyčejně „hnízdo“, určitě se nebudeme snažit vyslovit ... obě bidlohnízda spadla... nebo podobný nesmysl. Normálně a jasně sdělíme ... bidlo i s hnízdem spadlo. A chceme-li použít slovo bydlo, řekneme zcela obdobně ... bidlo i s bydlem spadlo. Je to jediná správná možnost, a žádná zvuková podobnost nás neopravňuje říci nebo napsat to jinak.
Dalším známým paradoxem je šibenice na mostě.
Na mostě stojí šibenice. Vojáci, kteří ji obsluhují, se ptají každého procházejícího člověka, kam jde. Když řekne pravdu, tak ho pustí. Když zalže, oběsí ho. Problém však nastal, když přišel člověk, který prohlásil, že se jde oběsit na té šibenici. Pokud ho skutečně oběsí, tak mluvil pravdu a měli ho pustit. Pokud ho neoběsí, tak lhal a měli ho oběsit.
Zde se opět směšují různé věci. Takzvaně hrušky s jablky, obdobně jako u bidel-bydel. V tomto případě se míchá budoucnost s minulostí.
U budoucnosti neexistuje ani pravda, ani lež. Pro budoucnost nelze tyto pojmy vůbec definovat. Pravdu a lež můžeme rozhodnout pouze ve vztahu k minulosti. Jestliže se tedy vojáci ptají lidí, kam jdou, tak se ptají na budoucnost, a v tom případě žádným způsobem nelze posoudit, zda ti lidé lžou, nebo zda mluví pravdu. A když někdo tvrdí, že se jde oběsit, tak ani nelže, ani nemluví pravdu. Jednoduše proto, že se to ještě nestalo. Projevil se pouze úmysl, a ten není ani pravdivý, ani nepravdivý. Je jen více nebo méně upřímný. Klidně se může stát (a taky se běžně stává), že člověk v budoucnu naplní úmysl, který původně myslel zcela neupřímně. A naopak. Mnozí z těch, kteří „pravdivě“ řekli, kam jdou, tam nakonec vůbec nemuseli dojít. Takže lhali a měli být oběšeni? To je přeci nesmysl.
V tomto případě se nám tedy na budoucnost roubují pravidla, platná pouze pro minulost. Když se pak vzájemně konfrontují, musí nutně dojít k neřešitelným paradoxům.
Jeden velký problém matematiky spočívá v záporných číslech. Už jsme si na ně tak nějak zvykli, a ani nám to nepřijde. Ale ...
Matematika slouží k poměřování světa kolem nás. Umí jej změřit, a na základě toho dokáže pomocí výpočtů předpovědět, co bude dál. Jako základní pomůcka k poměřování světa slouží matematice číselná osa. To je jakási myšlená přímka a na ní vyznačený nulový bod. Přímka je rozdělena na stejné dílky, které se ubírají na obě strany od nulového bodu. Na jednu stranu do kladného nekonečna, na druhou stranu do záporného nekonečna. Nekonečny se však zabývat nebudeme.
Ať v našem světě vezmeme cokoliv, dokážeme to poměřovat pouze kladnými čísly. Není tu naprosto nic, co by se dalo měřit záporně. Kupříkladu hromádka deseti hrušek. I kdybychom se rozkrájeli, nedokážeme jich z hromádky odebrat jedenáct. Ani patnáct. Odebereme maximálně deset, a tím končíme. Samozřejmě můžeme si MYSLET, že odebíráme jedenáctou hrušku. Můžeme na to dokonce uzavřít i smlouvu. Odebereme jich deset, a ta jedna zůstane jako dluh, který bude splacen později. Ovšem ta jedna dlužná hruška je pouze MYŠLENÁ. Je sice v matematickém smyslu záporná, ale existuje pouze v naší mysli.
Nikdy nedokážeme stvořit zápornou hrušku ve skutečnosti.
Bohužel jsme si natolik zvykli žít s dluhy, že nám tato jednoduchá skutečnost už moc nedochází. A tak klidně umístíme skutečné těleso (nebo skutečný děj) do záporné části osy a poměřujeme ho zápornými čísly. Nutno říci, že kdyby se obě poloviny osy chovaly stejně, občasný překmit do záporné části by až tak nevadil. Zůstane nám myšlený dluh, který později snadno vyrovnáme i pro případ skutečného tělesa. Jenomže číselnou osu jsme si neprozřetelně zdeformovali a ona se nyní chová nesymetricky. V takovém případě není pozdější vyrovnání již možné. A v tom je právě problém.
Aby se usnadnilo přepočítávání mezi kladnými a zápornými čísly, stanovili jsme si pravidla. Pro sčítání a odčítání nejsou nutná, tam je to bez problémů. Ale násobení (a tudíž i dělení) se řídí známým : plus krát plus rovná se plus, mínus krát mínus rovná se taky plus, plus krát mínus rovná se mínus (a obdobně mínus krát plus rovná se mínus).
Představte si, že máme hromady a díry. Ty se vyznačují nějakým objemem. A my je pomocí těch objemů začneme mezi sebou násobit. Jedna hromada krát druhá hromada rovná se větší hromada. To je celkem přijatelné i v rámci poněkud "kulhavého" přirovnání. Ovšem díra krát díra se rovná taky větší hromada. Dovedete si snad představit jakýkoliv proces, kterým bychom ze dvou děr získali velkou hromadu?
Přirovnání je samozřejmě trochu nepřesné, ale pro rámcovou představu docela dobře poslouží. Názorně dokládá, že naše pravidla nejsou dobrá. Právě tato pravidla zanášejí na číselnou osu asymetrii, což znamená, že kladná polovina osy se chová jinak než záporná.
Celá asymetrie číselné osy se posléze koncentruje až do odmocniny z mínus jedné. Druhou odmocninu z mínus jedné podle našich nedobrých pravidel zkrátka nemůžeme provést (a obdobně se to týká všech dalších sudých odmocnin).
A to je právě ten paradox. Tak jako u šibenice došlo k míchání budoucnosti s minulostí, tak se zde směšuje kladná část osy se zápornou. Minulost s budoucností, hromady s dírami. Pravidla způsobují, že odmocněním kladné jedničky získáme (kupodivu) dvě řešení. Plus jedna a mínus jedna. Zato zápornou jedničku nám pravidla nedovolí odmocnit vůbec. A co tedy s tím?
Matematici se s paradoxem vyrovnali tak nějak po svém. Zápornou jedničku nakonec přeci jenom odmocnili, ale výsledek nazvali „i“. Což je zkratka slova „imaginární“. A imaginární, to je vlastně totéž, jako „nesmyslná“.
Já mám raději ten český výraz. Je takový pravdivější.
Aby se to nepletlo, tak matematici svou „imaginární“ jednotku uklidili mimo číselnou osu. Je to něco podobného, jako kdyby vojáci zmíněného rebela sice oběsili, ale současně prohlásili, že žije „imaginárním“ životem, a tak může klidně jít. Vojáci by měli asi trošku problém s jednou mrtvolou, protože jejich případ by se odehrál ve skutečnosti. Matematici mají sice taky problém s „mrtvolou“, ale vzhledem k tomu, že jejich problém se odehrává pouze v myšlenkách, tak je to až tolik nepálí. Matematici nepracují se skutečností, zato třeba fyzici ano. A jsou to právě oni, na koho vyskakuje matematická mrtvola z jejich výpočtů.
Myslím si, že matematici mají přeci jenom trochu černé svědomí, a tak kolem „nesmyslné“ jednotky vystavěli celou novou oblast matematiky. Hlavně proto, aby dostali „nesmyslné“ výsledky matematických výpočtů zpátky na číselnou osu. Což se sice v některých speciálních případech i daří, ale v mnoha jiných nikoliv. Proto se při fyzikálních výpočtech pečlivě vybírají právě tyto speciální případy, abychom se dopočítali alespoň něčeho.
Zkusme opět nahlédnout do "temných" krajin a vylovit odtud pár podivných myšlenek.
Nejprve oddělme kladnou osu od záporné. Nula je ve fyzikálním světě nula, a pod ní už nic. Vše od nuly nahoru jde do plusu. Od nuly dolů jít nelze. Zvolme tedy osu vedoucí od nuly do kladného nekonečna.
Kolik takových os potřebujeme, abychom pokryli prostor?
Na přímce potřebujeme dvě - jednu doleva a jednu doprava. K pokrytí roviny jsou nutné tři, uspořádané do hvězdice. A k pokrytí prostoru čtyři. Směřují do vrcholů pravidelného čtyřstěnu. Ilustraci najdete v "Prostorových obrázcích", například Plochy, nebo Mřížka
Naše nová souřadná soustava má zajímavé vlastnosti. Souřadnice bodů v prostoru nebo rovině nejsou „absolutní“, ale takzvaně „relativní“. Umístění bodu není dáno číselnou hodnotou jednotlivých souřadnic, ale jejich poměrem. Pokud pak některá z nich překmitne do záporna, je celkem snadné přepočítat souřadnice tak, aby byly všechny kladné nebo nulové. Je to způsob, jak provádět výpočty bez nebezpečí, že by hrozilo to malé strašidlo „i“. A nejenom to.
Jednotlivé osy v této souřadné soustavě se vzájemně ovlivňují, aniž by se ovšem rušily. Každá z nich je jedinečná, zadávání souřadnic je jednoznačné, a přesto jsou osy vzájemně závislé. Je to velmi zvláštní a vyplývají z toho zajímavé věci. A více to připomíná reálnou situaci, kdy každý děj prováděný v jednom rozměru se nutně projeví i v těch ostatních.
Mimo jiné je dokonce možné v této souřadné soustavě rotovat tělesem, aniž by se těleso navenek vůbec pohnulo. A navíc je jím takto možné „rotovat“ dvěma různými způsoby (nechci říkat směry, protože to tak docela směry nejsou).
Říkáte si, k čemu že je taková pitomost dobrá? Přesně takto se totiž chová spin elementárních částic.
Matematika pomáhá popsat a řešit poměrně složité fyzikální děje. Když přitom dojde k odmocňování záporných čísel, vyskočí odtamtud jako čertík naše „nesmyslná“ jednotka. Je zřejmé, že se tím pádem stává „nesmyslným“ celý výsledek výpočtu. Následují tedy složité úpravy a definování okrajových podmínek, abychom se vyhnuli odmocňování záporných čísel.
Reálná řešení pak existují pouze pro určité speciální případy, které však málokdy odpovídají realitě. Možná proto si třeba voda teče úplně jinak, než nám sdělují výpočty, plyny si „vymýšlejí“ nejrůznější odchylky, elektřina se nechová jak by „měla“, záření si taky září zcela svévolně, hromady se sypou podle svého, a ze všeho nejhorší jsou uzly. A ještě elementární částice. Ty si na sebe klidně nalepí zcela zbytečná nekonečna, která z nich pak musíme pracně sundávat. Na každou věc potřebujeme obsáhlé tabulky, protože si skoro nic neumíme spočítat. Teploty tání a varu, měrná tepla, měrné hmotnosti, elektrické a tepelné vodivosti, chemické afinity, koeficienty roztažnosti, spalná tepla, optické a magnetické vlastnosti látek, a tak dále, a tak podobně.
A přitom by to možná šlo. Už toho přece o světě víme docela dost.
... Konec stránky ...